உறவாய்வு



வளையாபுரம் என்ற ஊரில் மூன்று குழந்தைகள் இருந்தனர். பனிமலர், தீக்கதிர் இருவரும் சிறு பிள்ளையாயிருந்தே தோழிகள். செழியன் இரண்டாண்டுகளுக்கு முன்புதான் வளையாபுரம் வந்துசேர்ந்தான். அவன் அப்பாவின் வேலையிடமாற்றம் தான் அவனை பணிமலரின் விட்டருக்கே கொண்டுவந்து சேர்த்தது. மூவரும் ஒரே பள்ளியில் படிப்பதால் அவர்களுக்குள் நட்பு வளர்ந்தது. சனி-ஞாயிறானால் நாள் முழுதும் விளையாட்டுதான். இப்படி ஒரு நாள் மூவரும் புது விளையாட்டு ஒன்றை விளையாட தொடங்கினர். அந்த விளையாட்டு பற்றித்தான் இந்தப்பதிவு.



ஆளுக்கொரு பலகையும், அதில் எழுத சுண்ணாம்புக்கட்டியும் வைத்திருந்தனர். பனிமலர் அவள் பலகையில் ஒரு எண்ணை எழுதிக்காட்ட பதிலுக்கு செழியன் ஒரு எண்ணை எழுதிக்காட்டுவான். ஆட்டம் என்னவெனில் தீக்கதிர் செழியனுக்கு முன்பு சரியான எண்ணை எழுதிக்காட்ட வேண்டும். சரியான எண்ணா? எது சரியான எண் என்று எப்படி முடிவு செய்வது என்கிறீற்களா? ஆட்டம் தொடங்கும் முன்பே பனிமலரும், செழியனும் இரு எண்களுக்கும் என்ன தொடர்பு என்பதை பேசிவைத்துக்கொள்வர். இப்படி முப்பது முறை எண்கள் பரிமாற்றம் நடக்கும் அதற்குள் தீக்கதிர் சரியான எண்ணை கண்டுபிடித்துவிட வேண்டும். இல்லையெனில் அவள் தோற்றதாக பொருள். அவளுடைய தின்பண்டத்தை மற்ற இருவருக்கும் கொடுத்துவிட வேண்டும். பிறகு தீக்கதிரும், பணிமலரும் இடையே இந்த பரிமாற்றம் நிகழும். செழியன் தின்பண்டம் தான் அடுத்த வேட்டை.

எடுத்துக்காட்டாக விளையாட்டின் ஒரு சுற்றில் எழுதப்பட்ட எண்களை வலப்புறம் காண்க ==========>

முதல் வரிசை பனிமலர் எழுதியது, இரண்டாவது தீக்கதிர். இதிலிருந்தே தெரிகிறது செழியன் இச்சுற்றில் தோற்றான் என்று. அவன்தான் தோற்றான் நாம் அந்த இரண்டு வரிகளுக்கும் என்ன உறவு என்று கண்டுபிடிக்க முயல்வோமாஇருவரிகளையும் பார்த்தால், ஒன்று விளங்குகிறது. கீழிருக்கும் எண்கள் மேலுள்ள எண்களை எதோ ஒரு வகையில் பெருக்கியும்-கூட்டியும் பிறந்தது.

நமக்கு 'x'க்கும் 'y'யுக்கும்இடையான தொடர்பு என்னவென்று தெரியாது. ஆனால் 'x'ல்v ஏற்றப்படும் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் சரியான 'y'யின் மதிப்பு என்னவென்று அட்டவணையில் கண்டுகொள்ளலாம்.


x

y

1

15

2

20

3

25

4

30

5

35

6

40

7

45

8

50

9

55

10

60

11

65

12

70

13

75

14

80

15

85

16

90

17

95

18

100

19

105

20

110

21

115

22

120

23

125

24

130

25

135




'x'க்கும் 'h'ச்சுக்கும் இடையான தொடர்பு இதுவாக இருக்கலாம் என்று ஒரு ஊகம் வைத்துக்கொள்வோம்.

'a'வும் , 'b'யும் தான் x'உம் 'h'ச்சும் உள்ள தொடர்பை தீர்மானிக்கிறது. அவை என்னென்ன என்று கண்டுபிடிக்க வேண்டும். y-யும் , h-ச்சும் இரண்டுமே 'x'-ஐ பொறுத்துதான்.

'a'வும் 'b'யும் என்ன என்று அறிந்தால் 'x'ஐ க்கொண்டு 'h'ச்சை கணக்கிட்டுவிடலாம். இப்படி கணக்கிட்ட 'h'ச்சுக்கும், நாம் வைத்திருக்கும் 'y'யுக்கும் உள்ள இடைவெளியை குறைத்தால் 'x'க்கும் 'h'ச்சுக்கும் இடையான தொடர்பும், 'x'க்கும் 'y'யுக்கும் இடையான தொடர்பும் கிட்டத்தட்ட ஒன்று என்று கருதலாம்.

இப்படி இந்த இடைவெளியை குறைக்க குறைக்க, 'x'க்கும் 'y'யுக்கும் உள்ள உறவை, 'x'க்கும் 'h'ச்சுக்கும் உறவைக்கொண்டு வெளிக்கொணர்கிறோம். இதனால் தான் இது உறவாய்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.


a

1

2

3

4

5

5

b

1

2

3

4

5

10

x

y

h

e

h

e

h

e

h

e

h

e

h

e

1

15

2

13

4

11

6

9

8

7

10

5

15

0

2

20

3

17

6

14

9

11

12

8

15

5

20

0

3

25

4

21

8

17

12

13

16

9

20

5

25

0

4

30

5

25

10

20

15

15

20

10

25

5

30

0

5

35

6

29

12

23

18

17

24

11

30

5

35

0

6

40

7

33

14

26

21

19

28

12

35

5

40

0

7

45

8

37

16

29

24

21

32

13

40

5

45

0

8

50

9

41

18

32

27

23

36

14

45

5

50

0

9

55

10

45

20

35

30

25

40

15

50

5

55

0

10

60

11

49

22

38

33

27

44

16

55

5

60

0

11

65

12

53

24

41

36

29

48

17

60

5

65

0

12

70

13

57

26

44

39

31

52

18

65

5

70

0

13

75

14

61

28

47

42

33

56

19

70

5

75

0

14

80

15

65

30

50

45

35

60

20

75

5

80

0

15

85

16

69

32

53

48

37

64

21

80

5

85

0

16

90

17

73

34

56

51

39

68

22

85

5

90

0

17

95

18

77

36

59

54

41

72

23

90

5

95

0

18

100

19

81

38

62

57

43

76

24

95

5

100

0

19

105

20

85

40

65

60

45

80

25

100

5

105

0

20

110

21

89

42

68

63

47

84

26

105

5

110

0

21

115

22

93

44

71

66

49

88

27

110

5

115

0

22

120

23

97

46

74

69

51

92

28

115

5

120

0

23

125

24

101

48

77

72

53

96

29

120

5

125

0

24

130

25

105

50

80

75

55

100

30

125

5

130

0

25

135

26

109

52

83

78

57

104

31

130

5

135

0



<an animation showing the plots of (x,y)-line and (x,h)-line slowly becoming as same as (x,y)-line>

இது ஒரு எளிமையான உறவு அதனால் இப்படி நாம் ஊகித்தே உறவை கண்டுகொண்டோம். சிக்கல் மிகுந்த உறவுகளை இப்படி ஊகித்து கண்டறிவது இயலாமல் போகலாம். அதனால் ஊகங்கள் ஏதுமில்லாமல் (கணித)முறைப்படி கையாளவேண்டும். எப்படி? அதற்கு புள்ளியியலும், நுண்கணிதமும் ஒரு கருவியை நமக்கு தருகிறது.

error =(y - h)2 = (y - (ax + b) )2

de/da = -2x(y-ax-b)

de/db = -2(y-ax-b)



a = a + L.de/da

b = b + L.de/db

#https://github.com/mattnedrich/GradientDescentExample/blob/master/gradient_descent_example.py









h = a.x + b